LAS FORMAS DEL FUEGO (III): BACH, PITÁGORAS Y EL "TEMPERAMENTO"

Extractos del artículo

Las matemáticas de Johann Sebastian Bach

Por Vicente Liern Carrión

Universitat de València - Estudi General

 Revista Suma, junio de 2009, n° 61 – Sección MUSYMÁTICAS

  

«El que usted quiera editar las obras de Johann Sebastián Bach es algo que regocija mi corazón, que late todo para el arte sublime y grandioso de este verdadero padre de la armonía. Deseo ver pronto esa empresa en plena actividad. En cuanto abra usted mismo la suscripción, espero aportar yo mismo desde aquí»

Carta a F.A. Hofmeister, editor vienés. Ludwig van Beethoven

  

Contemporáneo de algunos de los más grandes matemáticos y científicos de la Historia –Leibniz, Newton y Euler–, Bach vivió en una época de auténtica revolución intelectual a la que, sin duda, contribuyó desde la Música. A pesar de la carta que su hijo Carl Philipp Emanuel escribió a J. N. Forkel advirtiendo que su padre “no era amante del seco material matemático”, lo cierto es que la grandeza estructural de sus obras,así como la manera de zanjar un problema secular a través de El clave bien temperado (1722, 1744) son formas brillantes de hacer Matemáticas de las que Bach sólo fue consciente al final de su vida.

De la simbología numérica a la Sociedad de Ciencias Musicales

Como bien afirma S. Russomanno (Una firma divina, 2000), la obra de Bach está plagada de claves numéricas. Por ejemplo, al sumar las cifras que corresponden a la posición en el alfabeto de las letras B-a-c-h, se obtiene el número 14 (2+1+3+8) y las cifras correspondientes a las letras J-S-B-a-c-h suman 41, o sea el revés de 14. Esta observación, que podría haber sido una simple anécdota, manifestaba una tácita predisposición hacia las leyes de la simetría y de la armonía universales que proporcionó muchas sorpresas en su obra. El manuscrito del coral para órgano Von deinen Thron tret ich hermit contiene en la primera línea 14 notas, mientras que el coral en su integridad suma 41 notas. Sin duda, la frecuencia con la que estos dos números aparecen en las obras de Bach no puede atribuirse a una casualidad. Por otra parte, en la primera sección del Credo de la Misa en Si menor, la palabra credo se repite 43 veces. Si se suman las posiciones en el alfabeto de las letras cr-e-d-o, se obtiene precisamente el número 43. Las dos primeras secciones del mismo  Credo suman 129 compases, o sea, 43 multiplicado por 3, número que simboliza la Trinidad. En la Chacona para violín aparecen continuas referencias a su primera mujer, María Bárbara: en la pieza aparece insistentemente el número 211 correspondiente a las palabras  In Christo Morimur, y también los números 81 y 158 que se corresponden con la suma de las letras de María (40) Bárbara (41) y Johann (58) Sebastian (86) Bach (14), respectivamente.Pero, más allá de esta simbología numérica, que poco aporta a las Matemáticas, ¿había razonamientos matemáticos en sus composiciones?

Durante muchos años, Bach no fue consciente del rigor científico de sus obras porque, en palabras de su hijo Carl Philipp Emanuel, “no se dejaba arrastrar por profundas consideraciones teóricas y dedicaba, en su lugar, sus energías a la práctica”. Pero, tras nueve años de negativa, en el verano de 1747, Johann Sebastian accedió a ingresar en la Sozietät der Musicalischen Wissenschaften (Sociedad de las Ciencias Musicales). Era una sociedad elitista, que sólo llegó a contar con veinte miembros, creada por L. C. Mizler (1711 - 1778), un alumno de Bach, que además de músico fue matemático, físico, filósofo y médico. El propósito era investigar la relación entre música y matemáticas y, de hecho, el propio Mizler contribuyó al objetivo de la Sociedad publicando un tratado de composición basado en el ars combinatoria  de Leibniz. Cuando Johann Sebastian ingresó en la Sociedad, ya sabía que en su manera de abordar los cánones o las fugas se ocultaban razonamientos matemáticos. De hecho, para formar parte de la Soziëtat presentó como trabajo científico una pieza canónica basada en su Vom Himmel hoch (BWV 769), junto con un canon a seis voces de las Variaciones Goldberg. Además de estas dos obras aportó un retrato, otra de las exigencias de la selecta sociedad, que se ha convertido en la imagen más conocida de Bach.

  

La estructura de sus obras es pura geometría

La genialidad de Bach alcanza su cenit con el contrapunto y la fuga, composiciones en las que la estructura geométrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y se les somete a transformaciones geométricas que mantienen la forma del tema: traslaciones, giros y simetrías que confieren a la obra una estructura muy rígida, pero en la que el compositor  encontró una fuente de inspiración. Se planteaba las fugas  con el mismo rigor estructural que un geómetra, pero les añadía una velocidad y brillantez en la improvisación, que resultaron admirables. Sirvan como muestra las palabras de J. N. Forkel (1749 – 1818) refiriéndose a una visita Bach al rey Federico II de Prusia (1712 – 1786):  

“Una noche, en los momentos en que [Federico el Grande de Prusia] preparaba ya su flauta y sus músicos estaban preparados para comenzar, un funcionario [...] dijo [...] ‘Señores el viejo Bach está aquí’. [...] El rey renunció a su concierto de esa noche e [...] invitó a Bach a probar cada uno de los fortepianos y tocar en ellos alguna improvisación. [...] Bach le pidió al rey un tema para una fuga, ofreciéndose a ejecutarla de inmediato, sin preparación alguna. El rey quedó admirado [..] y expresó el deseo de oír una fuga a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armonía tan rica, Bach mismo eligió uno, y al punto, con asombro para todos los presentes lo desarrolló de la misma sabia y magnífica manera como había desarrollado antes el tema del rey. La dificultad que entraña componer una fuga a seis voces es altísima, y la de improvisarla sólo ha estado al alcance de unos pocos. En palabras de Hofstadter... , la tarea de improvisar este tipo de fugas podría compararse, por decir algo, a la de jugar con los ojos vendados sesenta partidas simultáneas de ajedrez y ganarlas todas.”

Una demostración constructiva: El clave bien temperado

La mayoría de la música que escuchamos actualmente en occidente se basa en doce notas en cada octava: siete de ellas, do, re, mi fa, sol, la, si, llamadas naturales, y cinco más do#, mib , fa#, sol#, sib , a mitad de camino entre cada dos de las naturales (excepto entre el mi – fa y si – do), llamadas alteradas. Para llegar a este consenso ha habido muchas batallas, pero la guerra la ganó Bach.

En el siglo VI a. C. los pitagóricos establecen un método para obtener las notas basado en el intervalo de quinta. Si al pulsar una cuerda tensa suena una nota, la nota que produce una cuerda que mide dos tercios de la longitud de la primera está una quinta más alta que la primera. Si volvemos a coger dos tercios de la nueva cuerda, tenemos otra nota y así sucesivamente.

Entre dos notas de frecuencias f1 y f2 , de manera que  f1 < f2, hay un intervalo de quinta si f2 = 3/2 f1 .

Si tomamos como referencia la nota Fa, el orden en el que aparecen las quintas es Fa-do-sol-re-la-mi-si. Para obtener más notas podemos subir más quintas, con lo cuál surgen notas alteradas por sostenidos  Fa # -do # -sol # re # -la # -mi # -si # , o bajar quintas para obtener los bemoles Sib –mib –lab -reb –solb –dob –fab. Si nos quedamos con 12 notas… Desde cualquier nota, por ejemplo el Do, para ir hacia la derecha se multiplica por el valor de la quinta y para ir hacia la izquierda se divide por este valor, así

Sol = 3/2 Do

Si el esquema anterior lo planteamos sobre un círculo (círculo de quintas), comprobamos que la duodécima quinta no lo cierra, sino que lo sobrepasa ligeramente, porque con 12 quintas no tenemos 7 octavas exactamente,

2 [a la séptima] = 128        3/2 [a la decimosegunda] = 129, 7463

La diferencia entre estos dos valores se llama comma pitagórica…

[…]

Por pequeña que parezca, esta imprecisión ha sido uno de los principales temas de investigación de los musicólogos a lo largo de más de veinte siglos, porque dependiendo de la nota por la que se empiece, el desajuste se produce en una nota u otra.

[…]

Al haber una quinta más corta, denominada “quinta del lobo”, el sonido de ésta era desagradable, y esto hacía que no se pudiese utilizar, lo que imposibilitaba el uso de algunas tonalidades, la transposición o la convivencia de algunos instrumentos dentro de la misma agrupación. Mientras las composiciones se hacían para pocos instrumentos, esta dificultad no resultaba grave, pero en el Barroco, al aumentar el número de voces, el problema se hace insostenible, y más si pensamos en compositores como Bach, para los que las transposiciones eran una herramienta fundamental de su obra, como hemos visto en el apartado anterior.

A pesar de que desde el siglo XV los intérpretes cerraban el círculo “ajustando” (temperando) sus instrumentos, lo cierto es que los teóricos no llegan a un acuerdo. Grandes matemáticos, como Leibniz o Euler, propusieron modos diferentes de acabar con el problema. Para Bach, que además de extraordinario intérprete era constructor y reparador de órganos, contar con soluciones teóricas plausibles no era suficiente, necesitaba soluciones que conjugasen teoría y práctica. Por eso se plantea  El clave bien temperado como el matemático que hace una demostración constructiva. Necesitaba dar una solución práctica que acabase con las dificultades de poder interpretar en todas las tonalidades y a la vez zanjase las discusiones sobre qué temperamentos y sistemas de afinación eran los más adecuados.

Se ha discutido mucho acerca de si la propuesta de Bach era el temperamento igual de doce notas o alguno de los temperamentos que circulaban en Alemania, en especial a alguno de A. Werckmeister (1645 – 1706). En la actualidad, parece probado que Bach no se refería al temperamento igual, sino probablemente al temperamento de 1/4 de comma al que luego haremos referencia.

La solución al problema

Está claro que la mejor solución para cerrar el círculo de quintas no era  quitar toda la comma de la última quinta, sino que podría distribuirse entre varias de ellas. Si se resta 1/12 de coma pitagórica, a cada quinta, la nueva quinta mide […] 1,49831; y con esto se obtiene el temperamento igual de 12 notas, que es el sistema de afinación que se utiliza normalmente. Este sistema de afinación, que ahora nos parece incuestionable, deforma todas las quintas en la misma cantidad y a muchos músicos del Barroco les parecía inaceptable. De hecho, los principales teóricos de la época de Bach proponen muchas variedades de temperamentos que consistían en reducir parte de la comma sólo en algunas quintas.

[…]

Como es de suponer, cada uno de los temperamentos que circulaban a principios del siglo XVIII, con sus ventajas e inconvenientes, tenían sus seguidores y esto hacía que la situación fuese realmente complicada. Probablemente si Bach se hubiese dedicado a defender un temperamento, desde un punto de vista teórico, su propuesta no habría sido efectiva, por esto, para zanjar el problema era necesaria la “demostración constructiva”: crear el clave bien temperado. Esta obra, que no se imprimió en vida del autor, consta de dos volúmenes con preludios y fugas compuestos en todas las tonalidades mayores y menores de la gama cromática y su principal objetivo era mostrar que su propuesta era viable y sonaba bien. Esta composición, como gran parte de la obra de Bach, fueron ignoradas por la mayoría de sus contemporáneos, pero la revolución se había iniciado, y el hecho de que por primera vez el temperamento se desligase explícitamente de la idea de “truco práctico” de los intérpretes ya no tenía vuelta atrás: el temperamento formaba parte de la esencia misma de la composición.

NOTA: Además de los segmentos que indican los corchetes, se han eliminado del texto las interesantes y esclarecedoras notas al pie. Recomiendo al lector ávido la consulta del documento completo en su edición digital:  http://revistasuma.es/IMG/pdf/61/113-118).

Video de portada: "Preludio" de la Suite Inglesa n° 2 para teclado, en arreglo para arpa, por Naoko Yoshino